Tre variable lineære ligningssystem og løsningsmetode

I arkitektur er det matematiske beregninger for å bygge bygninger, hvorav den ene er et system med lineære ligninger. Systemet med lineære ligninger er nyttig for å bestemme koordinatene til skjæringspunktene. Korrekte koordinater er avgjørende for å produsere en bygning som samsvarer med skissen. I denne artikkelen vil vi diskutere et tre-variabelt lineært ligningssystem (SPLTV).

Tre-variabelt lineært ligningssystem består av flere lineære ligninger med tre variabler. Den generelle formen for en tre-variabel lineær ligning er som følger.

ax + av + cz = d

a, b, c og d er reelle tall, men a, b og c kan ikke alle være 0. Ligningen har mange løsninger. En løsning kan oppnås ved å likestille hvilken som helst verdi til de to variablene for å bestemme verdien til den tredje variabelen.

En verdi (x, y, z) er settet med løsninger for et tre-variabelt system av lineære ligninger hvis verdien (x, y, z) tilfredsstiller de tre ligningene i SPLTV. SPLTV-avregningssettet kan bestemmes på to måter, nemlig substitusjonsmetoden og eliminasjonsmetoden.

Substitusjonsmetode

Substitusjonsmetoden er en metode for å løse systemer for lineære ligninger ved å erstatte verdien av en variabel fra en ligning til en annen. Denne metoden utføres til alle variable verdier er oppnådd i et system med tre-variable lineære ligninger.

(Les også: To-variabelt lineært ligningssystem)

Substitusjonsmetoden er lettere å bruke på SPLTV som inneholder ligninger med koeffisienten 0 eller 1. Her er trinnene for å løse substitusjonsmetoden.

  1. Finn en ligning som har enkle former. Forenklet ligninger har en koeffisient på 1 eller 0.
  2. Uttrykk en variabel i form av de to andre variablene. For eksempel uttrykkes variabelen x i form av y eller z.
  3. Erstatt variabelverdiene oppnådd i andre trinn til andre ligninger i SPLTV, slik at et to-variabelt lineært ligningssystem (SPLDV) oppnås.
  4. Bestem SPLDV-oppgjøret oppnådd i trinn tre.
  5. Bestem verdiene til alle ukjente variabler.

La oss gjøre følgende eksempelproblem. Finn settet med løsninger for følgende tre-variable system med lineære ligninger.

x + y + z = -6 ... (1)

x - 2y + z = 3… (2)

-2x + y + z = 9… (3)

Først kan vi konvertere ligning (1) til, z = -x - y - 6 til ligning (4). Deretter kan vi erstatte ligning (4) i ligning (2) som følger.

x - 2y + z = 3

x - 2y + (-x - y - 6) = 3

x - 2y - x - y - 6 = 3

-3y = 9

y = -3

Etter det kan vi erstatte ligning (4) med ligning (3) som følger.

-2x + y + (-x - y - 6) = 9

-2x + y - x - y - 6 = 9

-3x = 15

x = -5

Vi har verdiene for x = -5 og y = -3. Vi kan koble den til ligning (4) for å få z-verdien som følger.

z = -x - y - 6

z = - (- 5) - (-3) - 6

z = 5 + 3 - 6

z = 2

Så vi har settet med løsninger (x, y, z) = (-5, -3, 2)

Eliminasjonsmetode

Metoden for eliminering er en metode for å løse systemer for lineære ligninger ved å eliminere en av variablene i to ligninger. Denne metoden utføres til det bare er én variabel igjen.

Eliminasjonsmetoden kan brukes i alle systemer med tre-variable lineære ligninger. Men denne metoden krever et langt trinn fordi hvert trinn bare kan eliminere en variabel. Det kreves minimum 3 eliminasjonsmetoder for å bestemme settet til SPLTV-avregningen. Denne metoden er enklere når den kombineres med substitusjonsmetoden.

Trinnene for fullføring ved hjelp av eliminasjonsmetoden er som følger.

  1. Observer de tre likhetene på SPLTV. Hvis to ligninger har samme koeffisient på samme variabel, trekker du fra eller legger til de to ligningene slik at variabelen har en koeffisient på 0.
  2. Hvis ingen variabler har den samme koeffisienten, multipliserer begge ligningene med tallet som gjør koeffisienten til en variabel i begge ligningene den samme. Trekk eller legg sammen de to ligningene slik at variabelen har en koeffisient på 0.
  3. Gjenta trinn 2 for andre ligninger. Variabelen som er utelatt i dette trinnet, må være den samme som variabelen som er utelatt i trinn 2.
  4. Etter å ha oppnådd to nye ligninger i forrige trinn, bestemme settet med løsninger for de to ligningene ved å bruke løsningsmetoden med to variable lineære ligningssystem (SPLDV).
  5. Erstatt verdien av de to variablene oppnådd i trinn 4 i en av SPLTV-ligningene, slik at verdien av den tredje variabelen oppnås.

Vi vil prøve å bruke eliminasjonsmetoden i følgende problem. Bestem settet med SPLTV-løsninger!

2x + 3y - z = 20… (1)

3x + 2y + z = 20… (2)

X + 4y + 2z = 15… (3)

SPLTV kan bestemmes ved å eliminere z-variabelen. Først legger du sammen ligningene (1) og (2) for å oppnå:

2x + 3y - z = 20

3x + 2y + z = 20 +

5x + 5y = 40

x + y = 8 ... (4)

Multipliser deretter 2 i ligning (2) og multipliser 1 i ligning (1) for å få:

3x + 2y + z = 20 | x2 6x + 4y + 2z = 40

x + 4y + 2z = 15 | x1 x + 4y + 2z = 15 -

5x = 25

x = 5

Etter å ha kjent x-verdien, erstatt den med ligning (4) som følger.

x + y = 8

5 + y = 8

y = 3

Erstatt x- og y-verdiene i ligning (2) som følger.

3x + 2y + z = 20

3 (5) + 2 (3) + z = 20

15 + 6 + z = 20

z = -

Slik at settet med SPLTV-løsninger (x, y, z) er (5, 3, -1).